DIN 3960: guida tecnica completa alla geometria, alla cinematica, agli errori e al gioco delle ruote dentate cilindriche ad evolvente

La DIN 3960 è una norma fondamentale per chi progetta, costruisce, controlla o interpreta una dentatura cilindrica ad evolvente. Non è una norma di resistenza come la ISO 6336, né una norma di classi qualitative come la DIN 3961 o la ISO 1328. La sua funzione è più profonda e, per certi versi, più importante: definisce in modo rigoroso il linguaggio tecnico dell’ingranaggio cilindrico. In essa vengono stabiliti i simboli, le convenzioni di segno, le grandezze geometriche, le relazioni cinematiche, le definizioni di contatto, le modalità di descrizione degli errori e i concetti di gioco e di posizione relativa degli assi. In altre parole, la DIN 3960 è la grammatica tecnica della dentatura cilindrica ad evolvente.

La norma si appoggia ad altri riferimenti DIN collegati: il profilo base della cremagliera standard secondo DIN 867 e DIN 58400, le tolleranze delle dentature cilindriche secondo DIN 3961, il sistema di gear fits e backlash secondo DIN 3967, i profili base utensile secondo DIN 3972, la correzione di profilo per ruote esterne secondo DIN 3992 e il progetto geometrico delle dentature interne secondo DIN 3993. Questo chiarisce subito un punto essenziale: la DIN 3960 da sola non “fa tutto”, ma costruisce il quadro concettuale entro cui le altre norme operano.

Simboli, termini e unità: la base del linguaggio normativo

La norma apre definendo in modo sistematico le grandezze fondamentali:

interasse a

diametro primitivo d

diametro di testa $d_a$

diametro di piede $d_f$

diametro di base $d_b$

diametro di lavoro $d_w$

modulo m

modulo di base $m_b$

passo p,

passo di base $p_b$

passo assiale $p_x$

spessore del dente s

larghezza del vano e

backlash j

ricoprimento ε

fattore di scorrimento $K_g$

errori di passo $f_p$

errori di profilo $f_{H\alpha}$

errori di forma $f_f$

eccentricità $f_c$

run-out radiale $F_r$

e molte altre grandezze.

La ricchezza del sistema simbolico mostra bene l’ambizione della norma: non limitarsi a poche formule, ma fornire un sistema completo di rappresentazione tecnica.

Anche le unità sono definite con precisione. La norma raccomanda di esprimere moduli e lunghezze in millimetri, deviazioni e tolleranze di lunghezza in micrometri, gli angoli “geometrici” come angolo di pressione e angolo d’elica in gradi, mentre gli angoli usati direttamente nelle equazioni possono essere espressi in radianti. Le velocità angolari sono in rad/s e la frequenza di rotazione in 1/s. Questa distinzione è importante perché impedisce errori di interpretazione quando si passa dalla geometria al calcolo automatico.

Un punto cruciale, spesso sottovalutato ma decisivo, riguarda la convenzione di segno del numero di denti. Per ruote esterne il numero di denti z va inserito come positivo; per ruote interne va inserito come negativo. Ne consegue che molte grandezze derivate da z assumono valore negativo per le dentature interne: diametri, raggi, passo angolare, alcuni angoli e varie quote di controllo. In officina, invece, queste quote vengono normalmente riportate in valore assoluto positivo; fa eccezione il coefficiente di spostamento di profilo x, che mantiene il suo segno. Questa convenzione consente di scrivere formule unificate per ruote esterne e interne.

I parametri nominali indipendenti della dentatura

Secondo la norma, la dentatura cilindrica ad evolvente, nelle sue dimensioni nominali prive di deviazioni e tolleranze, è definita da un insieme ristretto di parametri indipendenti:

numero di denti z

modulo normale $m_n$

angolo d’elica $\beta$

coefficiente di spostamento di profilo x

larghezza della fascia b

profilo della cremagliera

Tutte le altre grandezze risultano da queste. Il significato normativo è molto chiaro: una dentatura non è un insieme casuale di quote, ma una struttura coerente derivata da pochi parametri fondamentali.

Profilo base della cremagliera e superfici di riferimento

La DIN 3960 parte dalla cremagliera base standard. Il profilo base della cremagliera è la sezione normale dei denti della cremagliera “generatrice”, ottenuta idealmente da una dentatura esterna facendo tendere z all’infinito. I fianchi di questo profilo base sono rettilinei. Sul piano della linea di riferimento della cremagliera vengono definiti:

passo p

spessore del dente $s_P$

la larghezza del vano $e_P$

l’addendum $h_{aP}$

dedendum $h_{fP}$

l’altezza totale del profilo $h_P$

l’angolo di pressione del profilo base $\alpha_P$

Questo approccio è decisivo perché tutta la geometria della ruota ad evolvente viene derivata dalla posizione della cremagliera base rispetto al cilindro di riferimento.

La norma distingue poi le tre sezioni fondamentali di studio della dentatura cilindrica:

la sezione trasversale t, cioè la sezione su un piano perpendicolare all’asse della ruota;
la sezione normale n, cioè la sezione perpendicolare alla traccia del dente;
la sezione assiale x, cioè la sezione su un piano contenente l’asse della ruota.

Per una dentatura diritta la sezione normale coincide con la trasversale; per una dentatura elicoidale no. Questo punto è fondamentale, perché modulo, passo, angolo di pressione e spessori possono avere valori diversi a seconda della sezione considerata.

Moduli, diametri di riferimento e diametro di base

La norma definisce il modulo della cremagliera base come modulo normale $m_n$ . Da esso derivano gli altri moduli della dentatura elicoidale.

Il modulo trasversale è:

$m_t = \frac{m_n}{\cos \beta}$

Il modulo assiale è:

$m_x = \frac{m_n}{\sin |\beta|} = \frac{m_n}{\cos \gamma} = \frac{m_t}{\tan |\beta|}$

Il modulo di base è:

$m_b = \frac{m_n}{\sqrt{\tan^2 \alpha_n + \cos^2 \beta}}$

Queste relazioni mostrano bene come la dentatura elicoidale non cambi il “contenuto metrico” del sistema, ma lo ridistribuisca nelle diverse sezioni geometriche. Il modulo normale resta il riferimento principale di utensile e generazione, mentre il modulo trasversale governa la cinematica nel piano trasversale.

Il diametro primitivo è definito come:

Il cilindro di riferimento è la superficie di riferimento per la dentatura; il suo asse coincide con l’asse geometrico della ruota. Nella dentatura interna, coerentemente con la convenzione di segno della norma, questo diametro risulta negativo.

$d = z \cdot m_t = z \cdot \frac{m_n}{\cos \beta}$

Il diametro di base è invece il diametro del cilindro da cui si genera l’evolvente:

$d_b = d \cdot \cos \alpha_t$

La forma completa riportata dalla norma lega questa grandezza anche al modulo normale e all’angolo di pressione normale. Il senso fisico di $d_b$ db è centrale: l’evolvente “nasce” da qui, perciò un errore sul diametro di base si riflette direttamente sul profilo utile del fianco.

Superficie ad evolvente ed elicoide evolvente

Nel caso di denti diritti il fianco è una superficie evolvente; nel caso di denti elicoidali è un’elicoide evolvente. La norma definisce il generatore della superficie ad evolvente come la linea che, nello sviluppo del cilindro di base, genera il fianco. Nel caso elicoidale questa linea è inclinata e ha la sua origine sull’elica di base. Vengono quindi introdotti l’angolo d’elica di base $\beta_b$ e l’angolo di avanzamento di base $\gamma_b$ , legati dalla relazione:

$|\gamma_b| = 90^\circ – |\beta_b|$

La norma chiarisce inoltre che i due cilindri di base di una coppia di ruote hanno due piani tangenti comuni; questi sono i piani di azione. La loro intersezione individua l’asse istantaneo, mentre l’intersezione con i fianchi genera la linea di contatto. Questa impostazione è essenziale per capire il contatto reale fra le due dentature.

Angoli di pressione, angolo di rotolamento, raggio di curvatura e funzione evolvente

Nella sezione trasversale, l’angolo di pressione in un punto qualsiasi $Y$ del fianco è indicato con $\alpha_{yt}$ . Sul cilindro di riferimento esso diventa $\alpha_t$ . La norma lega l’angolo di pressione trasversale e quello normale mediante:

$\tan \alpha_n = \tan \alpha_t \cdot \cos \beta$

e, nel punto generico del fianco:

$\tan \alpha_{yn} = \tan \alpha_{yt} \cdot \cos \beta_y$

Per denti diritti, essendo $\beta=0$ , gli angoli normale e trasversale coincidono.

L’angolo di rotolamento dell’evolvente $\xi_y$ viene definito come l’angolo al centro compreso fra l’origine dell’evolvente e il punto di contatto della tangente dal punto $Y$ Y alla base. La norma fornisce la relazione:

$\xi_y = \tan \alpha_{yt}$

Il raggio di curvatura del profilo nel punto $Y$ , coincidente anche con la lunghezza di lavoro $L_y$ , è:

$\rho_y = r_b \cdot \xi_y = r_b \cdot \tan \alpha_{yt}$

La funzione evolvente viene poi definita nel modo canonico:

$\operatorname{inv}\alpha = \tan \alpha – \alpha$

La norma evidenzia anche che in passato si usava talvolta il simbolo $ev\,\alpha$ , ma raccomanda l’adozione del simbolo $inv\,\alpha$ . Tutto questo non ha un valore puramente teorico: la funzione evolvente è il ponte matematico fra angolo di pressione, posizione sul fianco e spessore dente.

Passo angolare, passi circolari e passi di base

Il passo angolare è l’angolo risultante dalla divisione della circonferenza in $z$ parti uguali:

$\tau = \frac{2\pi}{z}$

oppure, in gradi

$\tau = \frac{360^\circ}{z}$

La norma ricorda che nel caso di ruota interna il passo angolare assume segno negativo.

Il passo trasversale sul cilindro di riferimento è:

$p_t = \frac{d\pi}{z} = m_t \pi = \frac{m_n \pi}{\cos \beta}$

Il passo normale è:

$p_n = p_t \cos \beta = m_n \pi$

Il pitch span su $k$ passi è:

$p_k = k \cdot p_t$

Sul cilindro di base, il passo trasversale di base è:

$p_{bt} = p_t \cos \alpha_t$

Il passo di base normale è:

$p_{bn} = p_n \cos \alpha_n$

La norma definisce inoltre i passi sul cilindro $Y$ , sul cilindro $V$ , il passo lungo la linea d’azione e il passo assiale. In particolare il passo assiale è:

$p_x = m_x \pi = \frac{m_n \pi}{\sin |\beta|} = \frac{m_t \pi}{\tan |\beta|} = \frac{p_z}{|z|}$

dove $p_z$ è il lead del fianco elicoidale. Queste definizioni sono importantissime sia per la progettazione sia per la metrologia, perché consentono di ricondurre qualsiasi misura al corretto sistema di riferimento.

Angolo d’elica, segno dell’elica e correzione di profilo

La norma definisce l’angolo di avanzamento $\gamma$ e l’angolo d’elica $\beta$ come angoli complementari:

$|\beta| = 90^\circ – |\gamma|$

Per le ruote esterne una traccia destra corrisponde a $\beta$ β positivo, una traccia sinistra a $\beta$ β negativo; per le ruote interne la convenzione si inverte. La norma precisa anche che in una coppia di ruote cilindriche la somma degli angoli d’elica deve risultare nulla, il che equivale alla nota condizione di eliche opposte.

Uno dei passaggi più importanti della DIN 3960 è la definizione dello spostamento di profilo. La correzione di profilo è lo spostamento della linea di riferimento della cremagliera rispetto al cilindro di riferimento della ruota, ed è espressa da:

$x \cdot m_n$

È positiva se la linea di riferimento viene spostata verso la testa del dente, con conseguente aumento dello spessore del dente sul cilindro di riferimento; è negativa se viene spostata verso il piede, con riduzione dello spessore sul cilindro di riferimento. La norma richiama anche che, per gli ingranaggi interni, rispetto alla vecchia edizione 1960 la convenzione di segno dello spostamento di profilo è stata invertita.

Una ruota con correzione di profilo è detta V-gear; una ruota con $x=0$ è detta zero gear. Il cilindro tangente alla linea di riferimento spostata è il V-cylinder, e il suo diametro è:

$d_v = d + 2x m_n$

Questa grandezza è utile perché permette di esprimere in forma coerente spessori, larghezze vano e angoli su una superficie intermedia tra quella di riferimento e quella effettivamente “traslata” dalla correzione.

Diametri di testa e di piede, limiti geometrici e fattibilità del profilo

La norma definisce il diametro di testa $d_a$ e il diametro di piede $d_f$ in funzione del diametro di riferimento, dello spostamento di profilo e delle altezze della cremagliera base. Nelle forme semplificate per la ruota singola, utili nella pratica, questi possono essere ricondotti alla logica:

$d_a \sim d + 2x m_n + 2 h_{aP} + 2k m_n$ $d_f \sim d + 2x m_n – 2 h_{fP}$

dove la forma esatta dipende anche dalle grandezze di coppia introdotte successivamente, come gioco di fondo $c$ e alterazione di addendum $k$ . La norma non si limita a dare le formule: definisce anche le condizioni limite di validità geometrica. Per le ruote esterne, il diametro di testa deve restare sufficientemente esterno al diametro di base; per le ruote interne occorre mantenere il corretto rapporto tra diametro di testa e diametro di base per evitare geometrie non fattibili.

Nel paragrafo dedicato ai limiti geometrici dei denti ad evolvente, la DIN 3960 tratta esplicitamente il sottotaglio nelle ruote esterne, il limite di punta e lo spessore minimo in testa, il limite corrispondente per il vano nelle dentature interne e l’intero campo di fattibilità delle dentature ad evolvente. Questa parte è estremamente importante nella pratica progettuale, perché distingue ciò che è formalmente calcolabile da ciò che è realmente producibile e controllabile.

Quote di controllo dello spessore dente

Uno degli aspetti più preziosi della norma è il collegamento fra geometria teorica e controllo pratico. La DIN 3960 dedica un’intera sezione alle dimensioni di prova dello spessore del dente. Fra queste compaiono:

lo spessore cordale normale;
la base tangent length $W_k$ ;
le misure radiali a sfera o a rullo singolo;
le misure diametrali over balls / over pins;
l’interasse di prova in doppio fianco con master gear;
il diametro di testa per ruote sovratagliate.

Questo significa che la norma non si ferma alla geometria teorica, ma definisce anche come avvicinarla sperimentalmente con metodi metrologici coerenti. È proprio qui che la DIN 3960 diventa preziosa per chi controlla dentature in officina o in sala metrologica.

La coppia di ruote: rapporto, interasse, diametri di lavoro e angolo di pressione di lavoro

Passando dalla ruota singola alla coppia, la norma definisce le tipologie di coppia: esterna, interna, V-gear pair, V-0 gear pair e zero gear pair. Le grandezze accoppiate fondamentali sono il rapporto di denti $u$ , il rapporto di trasmissione $i$ i, la retta dei centri, l’interasse $a$ , i diametri primitivi di lavoro $d_w$ , l’angolo di pressione trasversale di lavoro $\alpha_{wt}$ , la profondità di lavoro $h_w$ e il gioco di fondo $c$ .

La norma distingue anche l’interasse di riferimento $a_d$ , la modifica di interasse $y \cdot m_n$ , il coefficiente di modifica dell’interasse $y$ , la somma degli spostamenti di profilo $\Sigma x$ e l’alterazione di addendum $k \cdot m_n$ . Questo è un punto cruciale: nella realtà di funzionamento, due ruote non sono semplicemente la somma di due geometrie singole, ma un sistema di contatto in cui l’interasse, la pressione di lavoro e il ricoprimento dipendono dalla combinazione reciproca delle due ruote.

Ingranamento, linea d’azione e ricoprimento

La sezione sull’ingranamento definisce il punto di contatto, il piano di azione, la linea di azione, la zona di azione, il cammino di contatto, i diametri utilizzabili $d_N$ , gli intervalli attivi e utilizzabili del fianco, l’angolo di trasmissione trasversale $\varphi_{ct}$ , il ricoprimento trasversale $\varepsilon_\alpha$ , il ricoprimento di sovrapposizione $\varepsilon_\beta$ , la lunghezza di sovrapposizione $g_p$ e il ricoprimento totale $\varepsilon_\gamma$ . La struttura della norma mostra chiaramente che il contatto non è descritto da un solo numero, ma da un insieme coordinato di grandezze geometriche e cinematiche.

Dal punto di vista fisico, il ricoprimento trasversale misura quanta parte del cammino di contatto risulta coperta dal passo di base, mentre il ricoprimento longitudinale misura l’effetto della fascia e dell’elica. Il ricoprimento totale è la somma dei due contributi. Quando esso è maggiore di 1, la trasmissione mantiene la continuità di contatto; quando cresce oltre i valori minimi, il funzionamento diventa generalmente più regolare e silenzioso. La norma, in sé, non impone una “prestazione acustica”, ma costruisce tutti i parametri necessari per valutarla correttamente.

Scorrimento sul fianco e fattore di sliding

La DIN 3960 definisce poi le grandezze che descrivono lo strisciamento sul fianco: velocità di scorrimento $v_g$ , fattore di scorrimento $K_g$ e scorrimento specifico $\zeta$ . Il significato è profondo: il contatto delle ruote non è puro rotolamento, se non in un punto; lungo il cammino di contatto esiste una componente di scorrimento che cambia segno e intensità. Questa è la base di usura, attrito, temperatura locale, rumorosità e rischio di grippaggio. La norma non entra nel dettaglio di resistenza e scuffing, ma fornisce le grandezze necessarie per descriverne le cause cinematiche.

Deviazioni e tolleranze dello spessore e delle quote di prova

Un’altra parte molto importante della DIN 3960 riguarda le deviazioni $A$ e le tolleranze $T$ . La norma definisce le deviazioni dello spessore del dente, dello spessore cordale normale, delle quote sfere / rulli, delle quote radiali a sfera o rullo singolo, dell’interasse di prova in doppio fianco con master gear e del diametro di testa nelle ruote sovratagliate. Definisce poi le corrispondenti tolleranze $T_s$ , $T_W$ , $T_{Md}$ , $T_{Mr}$ , $T_{a”}$ , $T_{da}$ . Il senso di questa struttura è chiaro: la norma separa il concetto di quota nominale da quello di deviazione reale e da quello di banda ammissibile.

La norma introduce anche i change factors $A^*$ , cioè i coefficienti di trasferimento delle deviazioni sulle rispettive grandezze di controllo. Questo consente di tradurre in modo normativo una deviazione di spessore su una misura indiretta, come una quota rulli o una quota cordale. È uno strumento molto utile quando il controllo non avviene direttamente sullo spessore teorico, ma tramite quote sostitutive.

Errori dei singoli parametri

La DIN 3960 classifica in dettaglio gli errori dei singoli parametri geometrici della dentatura. Per il passo circolare definisce errore di passo adiacente $f_p$ , errore cumulativo su $k$ k passi $F_{pk}$ , errore cumulativo complessivo $F_p$ , ampiezza degli errori di passo $R_p$ e differenza fra passi adiacenti $f_u$ . Per il passo di base normale introduce $f_{pe}$ . Per il profilo trasversale definisce errore totale di profilo $F_f$ , errore angolare di profilo $f_{H\alpha}$ , errore di forma di profilo $f_f$ . Per la linea del dente definisce errore totale di allineamento $F_\beta$ , errore angolare di traccia $f_{H\beta}$ , errore di forma longitudinale $f_{f\beta}$ . Sono poi presenti le deviazioni del generatore, il run-out radiale $F_r$ , il run-out del diametro di testa $f_r$ , l’eccentricità $f_c$ , il wobble $F_o$ e i vari campi di dispersione $R$ .

Questa classificazione ha un enorme valore tecnico. Un rumore o una vibrazione in esercizio non sono “un errore generico”: possono essere dovuti a passo, profilo, linea del dente, eccentricità o posizione dell’asse utensile. La norma rende possibile separare cause diverse con un linguaggio comune tra progettista, produttore, metrologo e cliente.

Pattern di contatto ed errori compositi

La norma introduce anche il concetto di impronta di contatto, cioè l’area del fianco che entra realmente in contatto. Questa impronta dipende non solo dalla geometria nominale, ma anche da errori, posizione relativa degli assi e condizioni operative. È una definizione apparentemente semplice, ma fondamentale in pratica, perché distingue il fianco teoricamente attivo da quello realmente caricato.

Successivamente la DIN 3960 passa agli errori compositi e cumulativi. Nella prova a singolo fianco compaiono l’errore composito tangenziale $F_i’$ , l’errore cumulativo di passo di lavoro $F_p’$ , l’errore di lavoro individuale $f_i’$ ′, l’errore tangenziale dente-a-dente $f_i’$ e la deviazione di trasmissione di un ingranamento pluristadio. Nella prova a doppio fianco compaiono invece l’errore composito radiale $F_i”$ , il run-out radiale di lavoro $F_r”$ e l’errore radiale dente-a-dente $f_i”$ . In questo passaggio la norma si sposta dalla descrizione del singolo fianco alla risposta globale della coppia in prova.

Posizione assiale degli assi e deviazioni di montaggio

La norma dedica una sezione specifica anche alle deviazioni di posizione degli assi di una coppia di ruote. Qui compaiono gli errori di parallelismo, l’errore di inclinazione degli assi, l’errore di deviazione degli assi, la deviazione di interasse $A_a$ , la tolleranza di interasse $T_a$ e lo spazio di tolleranza per la posizione degli assi. Questo è un aspetto essenziale in applicazione: una dentatura perfetta dal punto di vista del profilo può funzionare male se gli assi non rispettano le condizioni di montaggio e allineamento previste.

Backlash: gioco circonferenziale, normale e radiale

L’ultima parte sostanziale della norma è dedicata al backlash $j$ . La DIN 3960 distingue il gioco circonferenziale $j_t$ , il gioco normale $j_n$ , il gioco radiale $j_r$ e il campo di variazione del gioco $R_j$ . Già da questa classificazione si capisce il messaggio della norma: il backlash non è un singolo valore astratto, ma una grandezza che può essere espressa e interpretata in diversi sistemi di riferimento. Il gioco è necessario per compensare deviazioni, dilatazioni e condizioni reali di esercizio; ma se è eccessivo può aggravare rumorosità, urti e irregolarità di trasmissione. La norma, ancora una volta, non fa “valutazione prestazionale” in senso commerciale, ma costruisce la lingua precisa con cui questa valutazione può essere fatta.

In sintesi

La DIN 3960 è una norma totalizzante nel senso migliore del termine: non perché dica tutto sugli ingranaggi, ma perché definisce il sistema entro cui tutto il resto diventa coerente. Stabilisce come si descrive un fianco ad evolvente, come si passa dalla cremagliera base alla ruota reale, come si esprimono moduli, diametri, angoli, passi, ricoprimenti, sliding, quote di controllo, deviazioni, errori compositi, allineamenti e backlash. Per questo motivo è una norma fondamentale non solo per chi progetta, ma anche per chi produce, controlla e valuta una dentatura cilindrica di precisione. Senza questa base, anche le verifiche più avanzate di resistenza, rumorosità o qualità rischiano di poggiare su un linguaggio impreciso.